MF
Plataforma: Matecho Ferbas
Institución Educativa Inem Jorge Isaacs
Docente: Fernando Bastidas Parra. Email: d.ine.fernando.bastidas@cali.edu.co
11° "Quédate en Casa" Cálculo.
Primer Semestre:
Primera Parte. Inicia: 20 04 2020 Termina: 29 05 2020
Semana 01. Taller 00. Teoría de números y operaciones con fraccionarios.
todos los ejes temáticos tienen ejemplos. Cuando lo resuelvas lo envías a mi correo.
Semana 02. Ecuaciones. Talleres para practicar. Examen....
https://www.youtube.com/watch?v=_z_mEQ-jkis&feature=youtu.be .........
Semana 03. Proporciones. Taller. Cuando resuelvas envías a mi correo..................
Semana 04. Proporciones y Regla de Tres. Taller. Cuando resuelvas envías a mi correo..
Pruebas Saber. Cuando lo resuelvas lo envías a mi correo........................................
Semana 05. Evaluación
Semana 06. Superaciones
Hacer clic o copiar el link del vídeo. Explica los ejes temáticos del taller 00.
01 Divisores de un Número ...............https://www.youtube.com/watch?v=Q2itvg3ol-c&feature=youtu.be
02 Máximo Común Divisor. M.C.D. https://www.youtube.com/watch?v=XDcF2BmCv1w&feature=youtu.be
03 Mínimo Común Múltiplo. M.C.M. ..https://youtu.be/icbe5aSktPs
04 Simplificación de Fracciones https://www.youtube.com/watch?v=wTbhBKftq0w&feature=youtu.be
05 Números Fraccionarios .................https://youtu.be/bGy0MW3pJkw
06 Fraccionarios Homogéneos https://www.youtube.com/watch?v=SZVJN8VWl98&feature=youtu.be
07 Adición y Sustracción de Fraccionarios Heterogéneos. https://youtu.be/EJzfTARSOLs
08 Adición y Sustracción de Fraccionarios Heterogéneos con M.C.M. https://youtu.be/IhsCY80V0bU
09 Número Mixto Adición y Sustracción Adición y Sustracción. https://youtu.be/bgt3KbJiaVg
10 Multiplicación y División de Fraccionarios. https://youtu.be/X3R3qIh1JaY
Talleres y exámenes para los que no tienen computador
Estándares
Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.
Utiliza propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y sus relaciones y operaciones para construir y comparar los distintos sistemas numéricos. Justifica la validez de las propiedades de orden de los números reales y las utiliza para resolver problemas analíticos que se modelen con ecuaciones.
Simulacro pruebas saber. https://www.guiaacademica.com/prueba-saber-11
ttps://contenidosparaaprender.colombiaaprende.edu.co/G_10/M/M_G10_U05_L02/M_G10_U05_L02_03_01_01.html
Divisores de un Número
DIVISORES DE UN NÚMERO: Son los factores de un número.
Ejemplo: Hallar los divisores de :12
Para hallar los divisores de un número en este caso 12
Para todos los números siempre se inicia con el uno.
En este caso 1x12. Escribimos el 1 y el 12.
1. (1x12) {1, ,12}
Luego seguimos con el 2. Como 2x6 =12, entonces el 2 y el 6.
2. (2x6) {1,2, ,6,12}
Luego seguimos con el 3. Como 3x4 =12, entonces el 3 y el 4.
3. (3x4) {1,2,3,4,6,12}
Aquí termina porque sigue en el orden 4, pero ya hicimos 3x4. Por tanto ya no hay más divisores o factores.
12= {1,2,3,4,6,12}
Hallar los divisores de :15
Para hallar los divisores de un número en este caso 15
Para todos los números siempre se inicia con el uno.
En este caso 1x15 =15. Escribimos el 1 y el 15.
1. {1, ,15}
Luego seguimos con el 2. Como 2 por ningún número da15, seguimos con el 3.
Como 3x5=15,
2. {1,3, ,5,15}
Aquí termina porque sigue en el orden 4, pero 4 por ningún número da 15. Por tanto ya no hay más divisores o factores.
15= {1,3,5,15}
Los múltiplos de un Número Natural , son los números que se obtienen de multiplicar el número dado por los Números Naturales.
Números Naturales = N, N= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}
Ejemplo: Los múltiplos de 2 = 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,...
Ejemplo: Los múltiplos de 5 = 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...
El Máximo Común Divisor, M.C.D.
Encontrar el máximo común divisor de 18 y 27 con conjuntos.
Hallamos los divisores de 18 y 27.
18 = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }
27 = { 1,3,9,27}
Se busca entre los divisores comunes el número mayor.
Como el mayor número común divisor es 9 entonces, El Máximo Común Divisor, es 9.
Ejemplo 2.
Hallar el máximo común divisor de 18 y 24 con conjuntos.
Hallamos los divisores de 18 y 24.
18 = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }
24 = { 1, 2,3,4,6,8,12,24 }
Se busca entre los divisores comunes el número mayor.
Como el mayor número común divisor es 6 entonces, el máximo común divisor es 6.
Mínimo Común Múltiplo
Ejemplo 1: Hallar el M.C.M. de: 4 y 8. Por conjuntos.
Primero hallamos varios múltiplos de cada número dado.
4={4,8,12,16,20,24,28,…}
8={8,16,24,32,40,48,56,64,…}
Luego buscamos el menor múltiplo que aparezca en ambos conjuntos.
El M.C.M. es 8.
Mínimo Común Múltiplo
Ejemplo 2. Halla el M.C.M. de 4, 8 Y 12. Por conjuntos.
Primero hallamos varios múltiplos de cada número dado.
4 = {4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48…}
8 = {8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,…}
12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72,...}
Luego buscamos el menor múltiplo que aparezca en los tres conjuntos.
El M.C.M. es 24.
Simplificación de Fracciones
MÉTODO: POR INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Ejemplo 1. Simplificar: 8
-------
24
Hallar el máximo común divisor de 8 y 24 con conjuntos.
Hallamos los divisores de 8 y 24. Para cada conjunto de divisores lo hacemos en orden iniciando siempre por uno. 1x8, luego 2x4...
8 = { 1, 2, 4, 8 }
24 = { 1, 2,3,4,6,8,12,24 }
Después de tener los dos conjuntos buscamos el mayor. El máximo común divisor es 8. Dividimos a 8 y 24 por 8.
Obtenemos: 8 1
------ = ------
24 3
Ejemplo 2. Simplificar: 3
-------
5
Hallar el máximo común divisor de 3 y 5 con conjuntos.
Hallamos los divisores de 3 y 5. Para cada conjunto de divisores lo hacemos en orden iniciando siempre por uno.
3 = { 1, 3 }
5 = { 1, 5 }
Después de tener los dos conjuntos buscamos el mayor. El máximo común divisor es 1.
Si el Máximo común divisor es 1, la fracción es irreductible es decir no se puede simplificar.
Ejemplo 3. Simplificar 18
----------
24
Hallar el máximo común divisor de 18 y 24 con conjuntos.
Hallamos los divisores de 18 y 24.
01 DIVISORES de un Número. https://www.youtube.com/watch?v=5omiDrw5EqY
18 = { 1, 2, 3, 6,9,18}
24 = { 1, 2,3,4,6,8,12,24 }
Después de tener los conjuntos buscamos el mayor. El máximo común divisor es 6.
Por tanto dividimos por 6 a cada número y el resultado nos da:
Obtenemos: 18 3
------- = -------
24 4
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2, cuando la última cifra es cero o par.
Ejemplos: 36, 84, 458, 6890, 88792, ...
Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3, cuando la suma de sus cifras da un múltiplo de 3.
Ejemplo: 42
4+2= 6, como 6 es divisible por 3, entonces 42 es divisible por 3.
Ejemplo: 84
8+4= 12, como 12 es divisible por 3, entonces 84 es divisible por 3.
Ejemplo: 201
2+0+1= 3, como 3 es divisible por 3, entonces 201 es divisible por 3.
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5, cuando la última cifra es cero o cinco (0 o 5).
Ejemplos: 35, 80, 145, 6890, 87765, …
Adición de Fracciones Homogéneas, con Números Enteros
Las fracciones homogéneas son las que tienen el mismo denominador.
Para sumar fracciones con igual denominador se escribe el mismo denominador, en el denominador.
Luego se suman los numeradores y se escribe el resultado en el numerador.
7/2+9/2 = 16/2 = 8
7 9 16
------ + -------- = -------- = 8
2 2 2
3/2 + 5/2 + 7/2 + 9/2 = (3+5+7+9) / 2 = 24 / 2 = 12
3 5 7 9 24
------- + ------- + -------- + ------- = ------- = 12
2 2 2 2 2
30/5 + 25/5 + 7/5 + 3/5 = (30+25+7+3) / 5 = 65 / 5 = 13
30 25 7 3 65
------- + ------ + ------ + ------ = ------- = 13
5 5 5 5 5
Sustracción de Fracciones Homogéneas, con Números Enteros
Para restar fracciones con igual denominador se escribe el mismo denominador, en el denominador.
Luego se restan los numeradores y se escribe el resultado en el numerador.
8/3 - 5/3 = (8-5)/3 = 3/3 = 1
8 5 3
------ - ------ = ------ = 1
3 3 3
17/7 - 5/7 = (17-5) /7 = 12/7
17 5 12
------- - --------- - ----------
7 7 7
30/11 - 15/11 = (30-15) /11 = 15/11
30 15 15 3
------- - -------- = --------- = --------
10 10 10 2
Número Mixto
Es un número compuesto que tiene una parte entera y una fraccionaria.La forma general es:
a + b/c = (axc + b)/c
a - b/c = (axc - b)/c
Ejemplos:
5 + 3 = 5x4+3 = 23 1 + 7 1x4 + 7 11
--------------- ------------------- --------- ------------- = -------------------- = -------------
4 4 4 4 4 4
5 - 3 5x4 - 3 17 1 - 1 1x4 - 1 3
------ = ------------------ = -------- ------- = ----------------------- = -----
4 4 4 4 4 4
Adición de Fraccionarios Heterogéneos Empleando Multiplicación
Se multiplica numerador de la primera fracción por denominador de la segunda.
5 7 5X9 + 4X7 45 + 28 73 Se multiplica denominador de la primera fracción por numerador de la segunda.
------ + -------- = ---------------------------- = ------------------------ = ----------- Se multiplican denominadores entre si.
4 9 36 36 36 Se resuelven las multiplicaciones.
Se suman o restan numeradores entre si.
Si el resultado se puede simplificar se simplifica.
10 3 10X2 - 4X3 20 - 12 8
--------- - --------- = ---------------------------- = -------------------- = -------- = 1
4 2 8 8 8
Adición de Fraccionarios Heterogéneos
Usando Mínimo Común Múltiplo
15/2 + 12/3 =
Primero hallamos el MCM de los denominadores: 2 y 3. El MCM es 6, se escribe en el denominador.
Luego el 6 se divide por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador.
6/2 = 3, 3x15 = 45 y6/3 = 2, 2x12 = 24,
El 45 y el 24 en el numerador. Luego se opera el numerador y se escribe el mismo denominador.
15 12 15X3 + 2X12 45 + 24 69 23
------ + --------- = ---------------------------------- = ------------------------ = ---------- = ---------
2 3 6 6 6 2
El resultado 69/6 se simplifica. Tercera de 69 es 23 y tercera de 6 es 2 .
Se puede simplificar y se realiza asi:
15/2 + 12/3 = 15/2 + 4 = 4X2+15 23
------------------- = ---------
2 2
Adición de Fraccionarios Heterogéneos usando el M.C.M.
1/4 + 5/6 =
Primero hallamos el M.C.M. de 4 y 6. El M.C.M. es 12. Luego el 12 se divide por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador.
12/4 =3, 3x1 =3, 12/6 = 2, 2x5 =10.
El M.C.M. se escribe en el denominador, El 3 y el 10 en el numerador. Luego se opera el numerador y se escribe el mismo denominador.
1/4 + 5/6 = (3 + 10) / 12 = 13 / 12
1 5 1X3+2X5 3+10 13
---- + ---------- = ----------------------- = ----------------- = ----------
4 6 12 12 12
Sustracción de Fraccionarios Heterogéneos
Usando Mínimo Común Múltiplo
15/2 - 12/3 =
Primero hallamos el M.C.M. de los denominadores: 2 y 3. El M.C.M. es 6.
El M.C.M. 6, se escribe en el denominador,
Luego el 6 se divide por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador.
6/2 = 3, 3x15 = 45, 6/3 = 2, 2x12 = 24.
El M.C.M. se escribe en el denominador, El 45 y el 24 en el numerador. Luego se opera el numerador y se escribe el mismo denominador.
15 12 15X3 - 2X12 45 - 24 21 7
------- - ---------- = ----------------------------------- = ------------------------- = ------ = --------
2 3 6 6 6 2
El resultado 21/6 se simplifica. Tercera de 21 es 7 y tercera de 6 es 2 .
Sustracción de Fraccionarios Heterogéneos
15/8 - 5/6 =
Primero hallamos el M.C.M. de 8 y 6. El M.C.M. es 24. Luego el 24 se divide por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador.
24/8 =3, 3x15 =45, 24/6 = 4, 4x5 =20.
El M.C.M. se escribe en el denominador, El 45 y el 20 en el numerador.
15/8 - 5/6 = (45 - 20) / 24 = 25 / 24
15 5 15X3 - 4X5 45- 20 25
------ - ------- = -------------------------------- ---------------------- = ---------
8 6 24 24 24
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS:
Se multiplican los numeradores entre si y el resultado se coloca en el numerador.
Luego se multiplican los denominadores entre si y el resultado se coloca en el denominador.
Solo en la multiplicación se pueden cancelar los factores iguales uno del numerador y uno del denominador.
En lenguaje de máquina: 8/7 X 5/1 = 40 / 7
DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS
Para dividir fraccionarios:
Se multiplica el numerador del primer fraccionario por el denominador del segundo,
el resultado se coloca en el numerador,
luego se multiplica el denominador del primer fraccionario por el numerador del segundo,
el resultado se coloca en el denominador.
a c ad
------- ÷ ------- = ------------ a/b / c/d = axd/bxc
b d bc
5 4
------- ÷ ------- = 5x9 / 3x4 = 45/12 = 15/4 5/3 / 4/9 = 45/12 = 15/4
3 9
a m axn
------- ÷ -------- = -------- a/b / m/n = (axn)/(bxm)
b n bxm
a
----
b ad
------- = ----------
c bc
----
d
División de fraccionarios
8/1 ÷ 5/7 = 56/5
1/7 ÷ 5/1 = 1/35
5/9 ÷ 4/5 = 25/36
División de fraccionarios
Cuando una fracción está sobre otra fracción, representa una división. Los nombres según su posición son los extremos o los medios.
Para resolver se multiplican los extremos y el resultado se coloca en el numerador.
Se multiplican los medios y el resultado se coloca en el denominador.
8 EXTREMO
----
6 MEDIO 24 4 Producto de extremos 8 x 3 = 24
-------- = --------- = -------
5 MEDIO 30 5 Producto de medios 6 x 5 = 30
----
3 EXTREMO
Si aparece un número entero sin denominador se le coloca 1.
3/7 / 7/1 = 3/49
7/8 / 2 = 7/8 / 2/1 = 7/16
8 / 5/2 = 8/1 / 5/2 = 16/5
Ecuaciones con Enteros Z
Término Mixto: 5x, 7x, …
Término Entero: - 9, 4, …
Resolvamos la ecuación: 5X + 7X – 17X + 4 – 9 = 10
5X + 7X – 17X + 4 – 9 = 10 Asociamos términos mixtos y términos enteros. (5X + 7X) Y (4 - 9)
12X – 17X – 5 = 10 Resolvemos términos mixtos y términos enteros
- 5X = 10 + 5 Resolvemos 12X – 17X=-5X pasamos con signo contrario el 5. Está -5 pasa +5
- 5X = 15 Resolvemos 10 + 5 = 15
X = 15 Pasamos con el mismo signo a dividir el -5
- 5
X = - 3 Resolvemos 15/-5 = -3
Ecuaciones con Racionales Q
Resolver la ecuación:
3X 5X 1 9 9 Buscamos el M.C.M. de los denominadores 5 4 6 y 8. Encontramos que es 120.
------ + ------ + ------ - -------- = -------
5 4 6 4 8 120 se divide por cada denominador y se multiplica por el numerador respectivo.
------------------------------------------------------------------------------- 120/5 = 24, 24x3 = 72, 120/4 = 30, 30x5 =150, 120/6 = 20, 20x1=20,
120 120/4 = 30, 30x-9 = - 270, 120/8 =15. 15x9 =135
72X + 150X + 20 – 270 135 luego se cancelan los denominadores.
--------------------------------------------------------- = ---------
120 120
72X + 150X + 20 – 270 = 135 Al cancelar denominadores la ecuación queda así.
222X – 250 =135 Se resuelven términos semejantes
222X = 135 + 250 Se pasa -250 con signo contrario al otro lado de la igualdad
222X = 385 Se resuelve 135 + 250 = 385
385 Se pasa 222 a dividir
X = --------------
222
Ecuaciones con Polinomios
1. X + 9 2X + 6
---------------------- + ------------------------ = 4 Buscamos el .MC.M. de 9 y 12. Obtenemos es 36.
9 12
------------------------------------------------- = 4 Luego se divide el denominador (36) por cada uno de los numeradores (9 y 12) y el resuultado
36 se multiplica por el numerador.
4X + 36 + 6X + 6 36/9=4, 4xX=4X, 36/12=3, 3x2X=6X, 36/12=3, 3x6=18
-------------------------------------------------------- = 4
36
10X + 42 4X +6X = 10X , 36 + 6 = 42
-------------------------------- = 4
36
4X + 36 + 6X + 6 36/9=4, 4xX=4X, 36/12=3, 3x2X=6X, 36/12=3, 3x6=18
------------------------------------------------------- = 4
36
10X + 42 4X +6X = 10X , 36 + 6 = 42
---------------------------- = 4
36
10X + 42 = 144 36 x 4= 144
10X = 144 - 42 Pasamos el + 42 al otro lado de la igualdad como - 42
10X = 102 144 – 42= 102
102
X = -----------
10
51
X = -------
5
Resolver hallando el M.C.M.
1. X + 5 2X + 2 4X - 4
------------------------ + ------------------------- = --------------------- Obtenemos el .MC.M. de 6 y 8. Obtenemos es 24
6 8 6
4X - 4
------------------------------------------------------------- = -------------------- Luego se divide el denominador (24) por cada uno de los numeradores (6 y 8) y el resultado
24 6 se multiplica por el numerador.
4X + 20 + 6X + 6 4X - 4 24/6=4, 4xX=4X, 24/6=4, 4x5=20,
------------------------------------------------------------ = --------------------- 24/8=3, 3x2X=6X, 24/8=3, 3x2=6
24 6
10X + 26 4X - 4 4X +6X = 10X , 20 + 6 = 26
--------------------------------- = --------------------------
24 6
6( 10X + 26 ) = 24( 4X - 4 )
60X + 156 = 96X - 96
156 + 96 = 96X - 60X
252 = 36X
36x = 252
252
X = --------------
36
X = 7
Hacer clic en el signo musical en la parte inferior para el sonido.
Iniciamos la segunda parte del primer semestre
