MF
Plataforma: Matecho Ferbas
Institución Educativa Inem Jorge Isaacs
Docente: Fernando Bastidas Parra. Email: d.ine.fernando.bastidas@cali.edu.co
10°. "Quédate en Casa" Trigonometría
Primer Semestre:
Primera Parte. Inicia: 20 04 2020 Termina: 29 05 2020
Solo envías a mi correo el taller 00 y el Primer examen.
Semana 01. Taller 00.La clave es: 00. Lo resuelves y lo envías a mi correo.
Taller con ejemplos de: Divisores, múltiplos, M.C.D., M.C.M.,
simplificación de fracciones y aplicaciones .Recuerda guardar archivo con el nombre y el curso.
Semana 02. Repaso Ángulos, Triángulos y Teorema de Pitágoras.
Para practicar en casa.....................
Semana 03. Repaso del Teorema de Pitágoras y Relaciones Trigonométricas.
Para practicar en casa.........
Semana 04. Examen de los Talleres. Lo resuelves y lo envías a mi correo........
Semana 05. Evaluación
Semana 06. Superaciones
Taller 00 para el que no tiene computador. Lo realizan en el cuaderno..............................
Taller para la promoción............................................................................................
Si necesita consultar o profundizar temas lo puede hacer en: DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE:
https://contenidosparaaprender.colombiaaprende.edu.co/G_9/M/index.html
Estándares
Resuelve problemas mediante el uso de las propiedades de las funciones y usa representaciones tabulares, gráficas y algebraicas para estudiar la variación, la tendencia numérica y las razones de cambio entre magnitudes. Comprende y utiliza funciones para modelar fenómenos periódicos y justifica las soluciones.
Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.
Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.
Vídeos de Trigonometría
Hacer clic o copiar el link del vídeo de cada tema.
01 Teorema de Pitágoras. https://youtu.be/3rtjk9FlyQI
02 Ejemplos del Teorema de Pitágoras. https://youtu.be/sSh9yNhj9AY
03 Ejemplos del Teorema de Pitágoras. https://youtu.be/1v5bS4OQm-4
04 Ley del Seno. Fórmula. https://www.youtube.com/watch?v=H5quyeS8K8c&t=10s
05 Teorema o Ley del Seno. Ejemplo 01. https://www.youtube.com/watch?v=ozCuSY3VEDU&feature=youtu.be
06 Teorema o Ley del Coseno. Ejemplo 01 https://www.youtube.com/watch?v=CZK5zTI7mjE&feature=youtu.be
Vídeos donde se explica cada tema del taller 00
01 Divisores de un Número .................................. https://www.youtube.com/watch?v=Q2itvg3ol-c&feature=youtu.be
02 Máximo Común Divisor. M.C.D. https://www.youtube.com/watch?v=XDcF2BmCv1w&feature=youtu.be
03 Mínimo Común Múltiplo. M.C.M. .................... https://youtu.be/icbe5aSktPs
04 Simplificación de Fracciones https://www.youtube.com/watch?v=wTbhBKftq0w&feature=youtu.be
05 Números Fraccionarios ................................... https://youtu.be/bGy0MW3pJkw
06 Fraccionarios Homogéneos https://www.youtube.com/watch?v=SZVJN8VWl98&feature=youtu.be
Divisores de un Número
DIVISORES DE UN NÚMERO: Son los factores de un número.
Ejemplo:
Hallar los divisores de :12
Para hallar los divisores de un número en este caso 12
12
Para todos los números siempre se inicia con el uno.
En este caso 1x12. Escribimos el 1 y el 12.
1. (1x12) {1, ,12}
Luego seguimos con el 2. Como 2x6 =12, entonces el 2 y el 6.
2. (2x6) {1,2, ,6,12}
Luego seguimos con el 3. Como 3x4 =12, entonces el 3 y el 4.
3. (3x4) {1,2,3,4,6,12}
Aquí termina porque sigue en el orden 4, pero ya hicimos 3x4. Por tanto ya no hay más divisores o factores.
12 = {1,2,3,4,6,12}
Hallar los divisores de :15
Para hallar los divisores de un número en este caso 15
Para todos los números siempre se inicia con el uno.
En este caso 1x15 =15. Escribimos el 1 y el 15.
1. {1, ,15}
Luego seguimos con el 2. Como 2 por ningún número da como resultado 15, seguimos con el 3.
Como 3x5=15,
2. {1,3, ,5,15}
Aquí termina porque sigue en el orden 4, pero 4 por ningún número da 15. Por tanto ya no hay más divisores o factores.
15 = {1,3,5,15}
Los múltiplos de un Número Natural , son los números que se obtienen de multiplicar el número dado por los Números Naturales.
Números Naturales = N,
N= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}
Ejemplo: Los múltiplos de 2 = 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,...
Ejemplo: Los múltiplos de 5 = 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...
El Máximo Común Divisor, M.C.D.
Ejemplo 1.
Encontrar el máximo común divisor de 18 y 27 con conjuntos.
Hallamos los divisores de 18 y 27.
18 = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }
27 = { 1,3,9,27}
Se busca entre los divisores comunes el número mayor.
Como el mayor número común divisor es 9 entonces, El Máximo Común Divisor, es 9.
Ejemplo 2.
Hallar el máximo común divisor de 18 y 24 con conjuntos.
Hallamos los divisores de 18 y 24.
18 = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }
24 = { 1, 2,3,4,6,8,12,24 }
Se busca entre los divisores comunes el número mayor.
Como el mayor número común divisor es 6 entonces, el máximo común divisor es 6.
Mínimo Común Múltiplo
Ejemplo 1: Hallar el M.C.M. de: 4 y 8. Por conjuntos.
Primero hallamos varios múltiplos de cada número dado.
4={4,8,12,16,20,24,28,…}
8={8,16,24,32,40,48,56,64,…}
Luego buscamos el menor múltiplo que aparezca en ambos conjuntos.
El M.C.M. es 8.
Ejemplo 2. Halla el M.C.M. de 4, 8 Y 12. Por conjuntos.
Primero hallamos varios múltiplos de cada número dado.
4 = {4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48…}
8 = {8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,…}
12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72,...}
Luego buscamos el menor múltiplo que aparezca en los tres conjuntos.
El M.C.M. es 24.
Simplificación de Fracciones
MÉTODO: POR INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Ejemplo 1. Simplificar: 8
-------
24
Hallar el máximo común divisor de 8 y 24 con conjuntos.
Hallamos los divisores de 8 y 24. Para cada conjunto de divisores lo hacemos en orden iniciando siempre por uno.
1x8, luego 2x4...
8 = { 1, 2, 4, 8 }
24 = { 1, 2,3,4,6,8,12,24 }
Después de tener los dos conjuntos buscamos el mayor. El máximo común divisor es 8. Dividimos a 8 y 24 por 8.
Obtenemos: 8 1
------ = ------
24 3
Ejemplo 2. Simplificar: 3
-------
5
Hallar el máximo común divisor de 3 y 5 con conjuntos.
Hallamos los divisores de 3 y 5. Para cada conjunto de divisores lo hacemos en orden iniciando siempre por uno.
3 = { 1, 3 }
5 = { 1, 5 }
Después de tener los dos conjuntos buscamos el mayor. El máximo común divisor es 1.
Si el Máximo común divisor es 1, la fracción es irreductible es decir no se puede simplificar.
Ejemplo 3. Simplificar 18
----------
24
Hallar el máximo común divisor de 18 y 24 con conjuntos.
Hallamos los divisores de 18 y 24.
01 DIVISORES de un Número. https://www.youtube.com/watch?v=5omiDrw5EqY
18 = { 1, 2, 3, 6,9,18}
24 = { 1, 2,3,4,6,8,12,24 }
Después de tener los conjuntos buscamos el mayor. El máximo común divisor es 6.
Por tanto dividimos por 6 a cada número y el resultado nos da:
Obtenemos: 18 3
------- = -------
24 4
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2, cuando la última cifra es cero o par.
Ejemplos: 36, 84, 458, 6890, 88792, ...
Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3, cuando la suma de sus cifras da un múltiplo de 3.
Ejemplo: 42
4+2= 6, como 6 es divisible por 3, entonces 42 es divisible por 3.
Ejemplo: 84
8+4= 12, como 12 es divisible por 3, entonces 84 es divisible por 3.
Ejemplo: 201
2+0+1= 3, como 3 es divisible por 3, entonces 201 es divisible por 3.
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5, cuando la última cifra es cero o cinco (0 o 5).
Ejemplos: 35, 80, 145, 6890, 87765, …
Adición de Fracciones Homogéneas
Con Números Naturales
Las fracciones homogéneas son las que tienen el mismo denominador.
Para sumar fracciones con igual denominador se escribe el mismo denominador, en el denominador.
Luego se suman los numeradores y se escribe el resultado en el numerador.
7/2+9/2=16/2=8
7 9 16
------ + -------- = -------- = 8
2 2 2
3/2 + 5/2 + 7/2 + 9/2 = (3+5+7+9) / 2 = 24 / 2 = 12
3 5 7 9 24
------- + ------- + -------- + ------- = ------- = 12
2 2 2 2 2
30/5 + 25/5 + 7/5 + 3/5 = (30+25+7+3) / 5 = 65 / 5 = 13
30 25 7 3 65
------- + ------ + ------ + ------ = ------- = 13
5 5 5 5 5
Sustracción de Fracciones Homogéneas
Con Números Naturales
Para restar fracciones con igual denominador se escribe el mismo denominador, en el denominador.
Luego se restan los numeradores y se escribe el resultado en el numerador.
8/3 - 5/3 = (8-5)/3 = 3/3 = 1
8 5 3
------ - ------ = ------ = 1
3 3 3
17/7 - 5/7 = (17-5) /7 = 12/7
17 5 12
------- - --------- - ----------
7 7 7
30/11 - 15/11 = (30-15) /11 = 15/11
30 15 15 3
------- - -------- = --------- = --------
10 10 10 2
Número Mixto
Es un número compuesto que tiene una parte entera y una fraccionaria.La forma general es:a + b/c = (axc + b)/c
a - b/c = (axc - b)/c
Ejemplos:
5 + 3 = 5x4+3 = 23 1 + 7 1x4 + 7 11
--------------- ------------------- --------- ------------- = -------------------- = -------------
4 4 4 4 4 4
5 - 3 5x4 - 3 17 1 - 1 1x4 - 1 3
------ = ------------------ = -------- ------- = ----------------------- = -----
4 4 4 4 4 4
Adición de Fraccionarios Heterogéneos Empleando Multiplicación
Se multiplica numerador de la primera fracción por denominador de la segunda.
5 7 5X9 + 4X7 45 + 28 73 Se multiplica denominador de la primera fracción por numerador de la segunda.
------ + -------- = ---------------------------- = ------------------------ = ----------- Se multiplican denominadores entre si.
4 9 36 36 36 Se resuelven las multiplicaciones.
Se suman o restan numeradores entre si.
Si el resultado se puede simplificar se simplifica.
10 3 10X2 - 4X3 20 - 12 8
--------- - --------- = ---------------------------- = -------------------- = -------- = 1
4 2 8 8 8
Adición de Fraccionarios Heterogéneos
Usando Mínimo Común Múltiplo
15/2 + 12/3 =
Primero hallamos el MCM de los denominadores: 2 y 3. El MCM es 6, se escribe en el denominador.
Luego el 6 se divide por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador.
6/2 = 3, 3x15 = 45 y6/3 = 2, 2x12 = 24,
El 45 y el 24 en el numerador. Luego se opera el numerador y se escribe el mismo denominador.
15 12 15X3 + 2X12 45 + 24 69 23
------ + --------- = ---------------------------------- = ------------------------ = ---------- = ---------
2 3 6 6 6 2
El resultado 69/6 se simplifica. Tercera de 69 es 23 y tercera de 6 es 2 .
Se puede simplificar y se realiza asi:
15/2 + 12/3 = 15/2 + 4 = 4X2+15 = 23
------------------- ---------
2 2
Adición de Fraccionarios Heterogéneos
1/4 + 5/6 =
Primero hallamos el M.C.M. de 4 y 6. El M.C.M. es 12. Luego el 12 se divide por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador.
12/4 =3, 3x1 =3, 12/6 = 2, 2x5 =10.
El M.C.M. se escribe en el denominador, El 3 y el 10 en el numerador. Luego se opera el numerador y se escribe el mismo denominador.
1/4 + 5/6 = (3 + 10) / 12 = 13 / 12
1 5 1X3+2X5 3+10 13
---- + ---------- = ----------------------- = ----------------- = ----------
4 6 12 12 12
Sustracción de Fraccionarios Heterogéneos
Usando Mínimo Común Múltiplo
15/2 - 12/3 =
Primero hallamos el M.C.M. de los denominadores: 2 y 3. El M.C.M. es 6.
El M.C.M. 6, se escribe en el denominador,
Luego el 6 se divide por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador.
6/2 = 3, 3x15 = 45, 6/3 = 2, 2x12 = 24.
El M.C.M. se escribe en el denominador, El 45 y el 24 en el numerador. Luego se opera el numerador y se escribe el mismo denominador.
15 12 15X3 - 2X12 45 - 24 21 7
------- - ---------- = ----------------------------------- = ------------------------- = ------ = --------
2 3 6 6 6 2
El resultado 21/6 se simplifica. Tercera de 21 es 7 y tercera de 6 es 2 .
Sustracción de Fraccionarios Heterogéneos
15/8 - 5/6 =
Primero hallamos el M.C.M. de 8 y 6. El M.C.M. es 24. Luego el 24 se divide por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador.
24/8 =3, 3x15 =45, 24/6 = 4, 4x5 =20.
El M.C.M. se escribe en el denominador, El 45 y el 20 en el numerador.
15/8 - 5/6 = (45 - 20) / 24 = 25 / 24
15 5 15X3 - 4X5 45- 20 25
------ - ------- = -------------------------------- ---------------------- = ---------
8 6 24 24 24
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS:
Se multiplican los numeradores entre si y el resultado se coloca en el numerador.
Luego se multiplican los denominadores entre si y el resultado se coloca en el denominador.
Solo en la multiplicación se pueden cancelar los factores iguales uno del numerador y uno del denominador.
En lenguaje de máquina: 8/7 X 5/1 = 40 / 7
DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS
Para dividir fraccionarios:
Se multiplica el numerador del primer fraccionario por el denominador del segundo,
el resultado se coloca en el numerador,
luego se multiplica el denominador del primer fraccionario por el numerador del segundo,
el resultado se coloca en el denominador.
a c ad
------- ÷ ------- = ------------ a/b / c/d = axd/bxc
b d bc
5 4
------- ÷ ------- = 5x9 / 3x4 = 45/12 = 15/4 5/3 / 4/9 = 45/12 = 15/4
3 9
a m axn
------- ÷ -------- = -------- a/b / m/n = (axn)/(bxm)
b n bxm
a
----
b ad
------- = ----------
c bc
----
d
División de fraccionarios
8/1 ÷ 5/7 = 56/5
1/7 ÷ 5/1 = 1/35
5/9 ÷ 4/5 = 25/36
División de fraccionarios
Cuando una fracción está sobre otra fracción, representa una división. Los nombres según su posición son los extremos o los medios.
Para resolver se multiplican los extremos y el resultado se coloca en el numerador.
Se multiplican los medios y el resultado se coloca en el denominador.
8 EXTREMO
----
6 MEDIO 24 4 Producto de extremos 8 x 3 = 24
-------- = --------- = -------
5 MEDIO 30 5 Producto de medios 6 x 5 = 30
----
3 EXTREMO
Si aparece un número entero sin denominador se le coloca 1.
3/7 / 7/1 = 3/49
7/8 / 2 = 7/8 / 2/1 = 7/16
8 / 5/2 = 8/1 / 5/2 = 16/5
Año Lectivo 2020
Departamento de: Matemáticas. Docente: Fernando Bastidas Parra
Grado: Décimo. Material: “QUÉDATE EN CASA” Parte 1
Primer periodo: Relaciones Trigonométricas
Conceptos Previos: DESARROLLANDO COMPETENCIAS EN GEOMETRÍA, Ángulos, Triángulos y Teorema de Pitágoras
Cordial saludos a todos mis estudiantes, les envío este repaso de lo visto y lo nuevo para que lo desarrollen y afiancen conocimientos previos.
https://www.youtube.com/channel/UCYKmy4RSD8G8Qe2kNfYm-BQ
Ángulos
Ángulo Recto = 90°
Ángulo Llano = 180°
Ángulo de Giro Completo = 360°
Ángulo Agudo < 90°
Ángulo Obtuso > 90° y < 180° , 90° < θ < 180°
Triángulos según sus lados
Equilátero: El que tiene todos sus lados iguales.
Isósceles: El que tiene dos lados iguales y uno desigual
Escaleno: El que tiene sus tres lados desiguales
Rectángulo: El que tiene un ángulo recto
Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras se cumple solamente con los triángulos rectángulos.
Los triángulos rectángulos tienen dos lados llamados catetos y uno llamado hipotenusa.
Los catetos forman el ángulo recto.
La hipotenusa está opuesta al ángulo recto y es el lado de mayor longitud.
AC = Cateto, AB = Cateto, BC = hipotenusa
2 2 2
El Teorema de Pitágoras muestra que: h = C1 + C2
Ejemplos Para hallar la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
Solución de Problemas
1. Math es ingeniero y está realizando obras en la plaza principal del pueblo. La plaza debe quedar como un parque. La forma del lote para el parque es 100m cuadrada. Un lado del lote mide 100m. Math debe hacer la vía peatonal que va de extremo a extremo por la diagonal del lote cuadrado.
¿Cuánto mide la vía peatonal?
2. Math debe construir una escalera en una casa. La escalera es recta. Se conoce que la altura de la casa es 3m. La base debe tener 3m. ¿Cuánto debe medir la escalera?
3. Math debe hacer un techo de una casa. Para colocar una biga diagonal que soporte el techo, hay que saber la medida de la biga diagonal. Si la biga horizontal del cielo raso mide 4m y la biga vertical que soporta el techo mide 1m. ¿Cuánto debe medir la biga diagonal?
4. Math debe hacer repello en una casa. Para repellar la biga horizontal de la casa, se necesita una escalera que alcance 3m de altura y separada de la pared a 2m de distancia. ¿Cuánto debe medir la escalera?
5. Math debe colocar varillas diagonales a un marco cuadrado para hacer ventanas. Cada lado del marco de la ventana mide 1m. ¿Cuánto debe medir la varilla de la diagonal?
Ejemplos para hallar el cateto en un Triángulo Rectángulo
Hallar el valor del cateto usando el teorema de Pitágoras.
Coseno= Cos
El Coseno de un ángulo está definido por la razón entre el lado adyacente del ángulo y el cateto opuesto o hipotenusa.
